Макс Борн родился в Бреслау (ныне Вроцлав, Польша) 11 декабря 1882 г. Его отец, Густав Борн, был профессором анатомии Университета Бреслау, а мать - талантливой пианисткой. Макс был старшим из двух детей.
В 1901 г. Борн поступил в университет Бреслау, где намеревался выучиться на инженера, но по совету отца прослушал в университете несколько курсов. Вскоре он увлекся математикой и физикой и провел два летних семестра в университетах Гейдельберга и Цюриха. В 1904 г. он поступил в Гёттингенский университет, где его профессорами были прославленные математики Д. Гильберт, Ф. Клейн и Г. Минковский.
В 1907 г. Борн посещал лекции Дж. Дж. Томсона в Кембридже, а вернувшись в Бреслау, занялся теоретической физикой. Ему удалось, соединив идеи Эйнштейна с математическим подходом Минковского, создать упрощенный метод вычисления массы электрона. По приглашению Минковского он вернулся в Гёттинген, где занялся исследованиями свойств кристаллов. В 1915 г. Борн стал ассистент-профессором теоретической физики у М. Планка в Берлинском университете.
В годы Первой мировой войны началась его многолетняя дружба с Эйнштейном, с которым, кроме физики, его объединяла любовь к музыке - они составляли дуэт, в котором партию скрипки исполнял Эйнштейн, а партию фортепьяно - Борн.
Главным достижением Макса Борна в науке является предложенная им в 1925 г. статистическая (вероятностная) интерпретация квантовой механики, положенная в основу современной физики. Интересно, что эта интерпретация была подсказана ему работой Эйнштейна, в которой тот предложил считать квантовомеханические волны своеобразными «призраками». Борн ухватился за эту, кажущуюся фантастической, идею и вместе со своими учениками Гейзенбергом и Иорданом довел ее до стройной количественной и непротиворечивой теории. Согласно этой теории, квадрат амплитуды квантовомеханической волны пропорционален вероятности нахождения частицы в данной точке.
Сам же Эйнштейн, будучи одним из создателей квантовой механики, так и не признал до конца жизни вероятностного характера ее законов: он говорил, что не верит, будто Бог может «играть в кости».
После прихода фашистов к власти Макс Борн эмигрировал в Англию, где продолжал заниматься наукой и преподаванием. Вернувшись после войны в Германию, Борн продолжил научную и педагогическую работу. Он активно выступал против разработки и применения атомного оружия.